5.1 Definición de transformación lineal
Transformaciones lineales.
5.1 Definición de transformación lineal.
Definición 1
Una de
las definiciones de una transformación lineal es : Sean dos espacios
vectoriales sobre un cuerpo K T:V → W es una transformación
lineal de V en W siempre y cuando
1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
Es una
función lineal en la cual el dominio y el condominio son espacios vectoriales y
se cumple las siguientes condiciones:
· Transformación
lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales
· Una transformación
lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector
único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝
1.
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. . T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar
Definición 3
Se conoce como transformación lineal
a una función, que tratan sobre K-espacios
vectoriales compatibles con la estructura de estos espacios, tiene un dominio y
un condominio que son espacios vectoriales. Se tienes los espacios vectoriales
V y W, así como una función que recorrerá de V a W, es decir es una regla de transformación
de vectores V a vectores W, aun que no siempre esta transformación se le puede
llamar transformación lineal, ya que deberán cumplirse dos condiciones.
F:V→WF:V→W es una
transformación lineal si y sólo si:
1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
Propiedades.
1. La imagen del vector nulo del dominio 0V es el valor nulo del condominio 0W
T(0V)=0w
Demostración.
T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
0V es el producto del escalar
0, por cualquier espacio del vector V. se a utilizado la segunda condición y hemos
vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del
escalar 0 por cualquier vector.
2. 2. La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de v:
T(-v)=
-T(v)
Demostración.
T(–v) =T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)
La justificación de los pasos dados en la
demostración es similar a la anterior.
3. Consideremos rr vectores del espacio vectorial V
v1,v2…,vr∈
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde
Si aplicamos la transformación lineal V a
F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)
Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de
Ejemplo 1: La función dada por es una transformación lineal.
Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si entonces la transformación está dada por . Ahora, tomemos dos vectores y en , y un real . Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en que:
En cambio, si tomamos la función que manda al vector al polinomio , puedes verificar por tu cuenta que sí es una transformación lineal.
Ejemplo 3: La función dada por no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo, , , pero y
También falla en sacar escalares pues, por ejemploRecuerda que es el espacio vectorial de funciones continuas.
Videos guía
¿Existe alguna clasificación para las transformaciones lineales?
ResponderBorrarSi, se clasifican en:
BorrarInyectivas o monomorfismos.
Biyectctivas.
Sobreyectivas.
¿A que se refiere un vector nulo?
ResponderBorrarun vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.
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ResponderBorrar¿se ocupan cumplir las 2 condiciones para que sea una transformación lineal?
Si, deberán cumplir con las dos condiciones.
Borrar¿Por que se da una transformación lineal?
ResponderBorrarporque da igual sumar dos vectores y después rotarlos, que primero rotar los dos vectores y después sumarlos; y da lo mismo multiplicar un vector por un escalar y después rotarlo, que primero rotar el vector y después multiplicarlo por el escalar.
Borrar¿Que es el dominio y condominio?
ResponderBorrarEl dominio es el conjunto de valores de entrada, el rango (o imagen) es el conjunto de valores de salida de una función y el codominio es el conjunto que contiene al rango.
Borrar¿cuales son los elementos de una transformacion lineal?
ResponderBorrarPor ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W , y una función que va de V a W .
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