5.1 Definición de transformación lineal

Transformaciones lineales.

5.1 Definición de transformación lineal.

Definición 1

Una de las definiciones de una transformación lineal es : Sean dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K T:V → W es una transformación lineal de V en W siempre y cuando

1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V

2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R

Definición 2

Es una función lineal en la cual el dominio y el condominio son espacios vectoriales y se cumple las siguientes condiciones:

· Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales

· Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝

1. 1. T (u+v)= Tu+Tv

2. . T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar

Definición 3

Se conoce como transformación lineal a una función, que tratan sobre K-espacios vectoriales compatibles con la estructura de estos espacios, tiene un dominio y un condominio que son espacios vectoriales. Se tienes los espacios vectoriales V y W, así como una función que recorrerá de V a W, es decir es una regla de transformación de vectores V a vectores W, aun que no siempre esta transformación se le puede llamar transformación lineal, ya que deberán cumplirse dos condiciones.

F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:

1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V

2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R

Propiedades.

1. La imagen del vector nulo del dominio 0V es el valor nulo del condominio 0W

T(0V)=0w

Demostración.

T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W

0V es el producto del escalar 0, por cualquier espacio del vector V. se a utilizado la segunda condición y hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

2. 2. La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de v:

T(-v)= -T(v)

Demostración.

T(–v) =T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

3. Consideremos rr vectores del espacio vectorial V

$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{r} \in V$

v1,v2…,vr∈

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr

Donde

Si aplicamos la transformación lineal $de$ $V$ a $, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:$

F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de

Ejemplos.

Ejemplo 1: La función $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $T(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ es una transformación lineal.

Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si $v=(x,y,z)$ entonces la transformación está dada por $T(v)=2v$ . Ahora, tomemos dos vectores $v_1$ y $v_2$ en $V$ , y un real $c$ . Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en $\mathbb{R}^3$ que:

$\begin{align*}T(v_1+v_2)&=2(v_1+v_2)\\&=2v_1+2v_2\\&=T(v_1)+T(v_2),\end{align*}$

y que

$T(cv_1)=2(cv_1)=c(2v_1)=cT(v_1).$

Esto muestra que $T$ es transformación lineal.

Ejemplo 2: La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $x^2+(a-b)x+ab$ no es una transformación lineal. Esto lo podemos verificar viendo que falla la parte de sacar escalares. Por un lado

$2(T(1,1))=2(x^2+1)=2x^2+2,$

mientras que por otro lado

$T(2,2)=x^2+4,$

así que $2(T(1,1))\neq T(2,2)$ , de modo que $T$ no saca escalares.

$\square$

En cambio, si tomamos la función que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $x^2+(a-b)x+a+b$ , puedes verificar por tu cuenta que sí es una transformación lineal.

Ejemplo 3: La función $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $T(x,y)=x+y+1$ no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo, $T(1,1)=3$ , $T(2,2)=5$ , pero $(1,1)+(2,2)=(3,3)$ y

$T(3,3)=7\neq 5 = T(1,1)+T(2,2.)$

También falla en sacar escalares pues, por ejemplo

$T(4,2)=7\neq 8 = 2T(2,1).$

Ejemplo 4: La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $T(a,b)=(a+b)x^2+(a-b)x+b$ es una transformación lineal. $\square$