5.1 Definición de transformación lineal
Transformaciones lineales.
5.1 Definición de transformación lineal.
Definición 1
Una de
las definiciones de una transformación lineal es : Sean dos espacios
vectoriales sobre un cuerpo K T:V → W es una transformación
lineal de V en W siempre y cuando
1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
Es una
función lineal en la cual el dominio y el condominio son espacios vectoriales y
se cumple las siguientes condiciones:
· Transformación
lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales
· Una transformación
lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector
único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝
1.
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. . T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar
Definición 3
Se conoce como transformación lineal
a una función, que tratan sobre K-espacios
vectoriales compatibles con la estructura de estos espacios, tiene un dominio y
un condominio que son espacios vectoriales. Se tienes los espacios vectoriales
V y W, así como una función que recorrerá de V a W, es decir es una regla de transformación
de vectores V a vectores W, aun que no siempre esta transformación se le puede
llamar transformación lineal, ya que deberán cumplirse dos condiciones.
F:V→WF:V→W es una
transformación lineal si y sólo si:
1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
Propiedades.
1. La imagen del vector nulo del dominio 0V es el valor nulo del condominio 0W
T(0V)=0w
Demostración.
T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
0V es el producto del escalar
0, por cualquier espacio del vector V. se a utilizado la segunda condición y hemos
vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del
escalar 0 por cualquier vector.
2. 2. La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de v:
T(-v)=
-T(v)
Demostración.
T(–v) =T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)
La justificación de los pasos dados en la
demostración es similar a la anterior.
3. Consideremos rr vectores del espacio vectorial V
v1,v2…,vr∈
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde
Si aplicamos la transformación lineal V a
F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)
Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de
Ejemplo 1: La función dada por
es una transformación lineal.
Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si entonces la transformación está dada por
. Ahora, tomemos dos vectores
y
en
, y un real
. Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en
que:
es transformación lineal.
que manda al vector
al polinomio
no es una transformación lineal. Esto lo podemos verificar viendo que falla la parte de sacar escalares. Por un lado
En cambio, si tomamos la función que manda al vector al polinomio
, puedes verificar por tu cuenta que sí es una transformación lineal.
Ejemplo 3: La función dada por
no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo,
,
, pero
y
que manda al vector
al polinomio
es una transformación lineal.
Recuerda que es el espacio vectorial de funciones
continuas.
Videos guía
¿Existe alguna clasificación para las transformaciones lineales?
ResponderBorrarSi, se clasifican en:
BorrarInyectivas o monomorfismos.
Biyectctivas.
Sobreyectivas.
¿A que se refiere un vector nulo?
ResponderBorrarun vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.
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ResponderBorrar¿se ocupan cumplir las 2 condiciones para que sea una transformación lineal?
Si, deberán cumplir con las dos condiciones.
Borrar¿Por que se da una transformación lineal?
ResponderBorrarporque da igual sumar dos vectores y después rotarlos, que primero rotar los dos vectores y después sumarlos; y da lo mismo multiplicar un vector por un escalar y después rotarlo, que primero rotar el vector y después multiplicarlo por el escalar.
Borrar¿Que es el dominio y condominio?
ResponderBorrarEl dominio es el conjunto de valores de entrada, el rango (o imagen) es el conjunto de valores de salida de una función y el codominio es el conjunto que contiene al rango.
Borrar¿cuales son los elementos de una transformacion lineal?
ResponderBorrarPor ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W , y una función que va de V a W .
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