5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

             5.2 IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:

La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del condominio.

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T). Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T(v1), w2 = T(v2). Por la linealidad de T,

Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T).

Criterio de la suprayectividad de una función en términos de su imagen.

Según la definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im(f). Pero la contención im(f) ⊂ Y es válida cualquier función f : X → Y . Por lo tanto,

NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 

El núcleo de una transformación lineal.

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo:

El núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces ker(T) es un subespacio de V . 

Criterio de la inyectividad de una transformación lineal en términos de su núcleo.

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). Entonces: 

Demostración. ⇒. Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por demostrar la igualdad ker(T) = {0V }. Sabemos que la contención {0V } ⊂ ker(T) se cumple para cualquier transformación lineal. Vamos a demostrar que ker(T) ⊂ {0V }. 

Para ello, consideremos un vector arbitrario v ∈ ker(T) y demostremos que v = 0V . Por la definición del núcleo tenemos que T(v) = 0W . 

Por otro lado, sabemos que T(0V ) = 0W . De las ´ultimas dos igualdades sigue que T(v) = T(0V ). Como T es inyectiva, podemos concluir que v = 0V . 

⇐. Supongamos que ker(T) = {0}. Sean u, v ∈ V tales que T(u) = T(v), demostremos que u = v. Por la linealidad de T, 

Esto significa que T(u − v) ∈ ker(T). Luego u − v = 0 y u = v.

Ejemplo:

El núcleo y la imagen de la transformación nula.

La transformación nula 0V →W : V → W está definida mediante la formula.

Es fácil ver que ker(0V →W ) = V , im(0V →W ) = {0W }.

El núcleo y la imagen de la transformación identidad.

Determine ker(I) y im(I) de la transformación identidad I : V → V definida mediante la fórmula.

El núcleo y la imagen de la transformación D.

Consideremos el operador D : Pn(R) → Pn(R), Df = f 0 . Entonces im(A) = Pn−1(F), ker(A) = P0(F).

El núcleo y la imagen de una proyección en V² (O).

Sea P el operador de proyección sobre 𝓁₁  paralelamente a 𝓁₂. Entonces ker(P) = 𝓁₂, im(P) = 𝓁₁.

Transformada lineal en R² asociada con la matriz 

Es fácil ver que

Problema adicional.

Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean T ∈ L(V, W), U ∈ L(W, X). Demuestre que

 Problema adicional.

En este problema se trata de funciones generales, no necesariamente de transformaciones lineales. Sean f : X → Y , g : Y → Z. Demuestre que: 

1. Si la composición gf es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.  

2. Si la composición gf es inyectiva, entonces f es inyectiva.

A continuación se dejan algunos videos de ejemplo respecto al tema de Núcleo e Imagen de la Transformación Lineal. 

  

Elaborado por.

José Manuel Zambrano Luna.

Dulce María Rangel Alcalá.

Bradley William Dávalos Espinoza.

Luis Felipe Hernandez Soto.