U5 Transformaciones Lineales

                5.4 Aplicación de las transformaciones  lineales:         reflexión, dilatación, contracción y  rotación. 4. Aplicación de las transformaciones lineales. En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su co-dominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. Ósea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F: V→WF: V→W es una transformación lineal si y sólo si: • F(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈VF(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈V • F(k*v) =k*F(v)       ∀v∈V, ∀k∈RF(k*v) =k*F(v)       ∀v∈V, ∀k∈R 4.1. Reflexión. Cuando un conjunto de puntos dados es graficado d...

               5.2 IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL  Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del condominio. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T). Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T(v1), w2 = T(v2). Por la linealidad de T, Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T). Criterio de la suprayectividad de una f...